| Was ist das große Rhombenkuboktaeder? AbgestumpftesKuboktaeder Beschreibungen Größen | Dualer Körper Rhombenkuboktaederim Internet Referenzen . |
Was ist das große Rhombenkuboktaeder?
 ... | Das große Rhombenkuboktaederistein Körper, der von 12 Quadraten, 8 regelmäßigen Sechseckenund 6 regelmäßigen Achtecken gebildet wird. Der Körper heißt auch abgestumpftes Kuboktaeder.Dieser Name ist umstritten (s.u.). |
Die beiden folgenden, nebeneinanderliegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionaleAnsicht des Körpers.
 durchsichtig |  undurchsichtig |
... ... | Verbindet man die Kantenmitten eines Würfels undentfernt die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht einKuboktaeder. |
... ... | Man kann vom Kuboktaeder wiederum Eckpyramiden entfernen.Dann werden aus den Quadraten Achtecke, aus den Dreiecken Sechsecke unddie entfernten Pyramiden hinterlassen scheinbar Quadrate. Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenkuboktaederaus einem Kuboktaeder gewinnen könne. |
Kepler hat den Körper irrtümlicherweise alsabgestumpftes Kuboktaeder angesehen und so bezeichnet. Dieser Name hatsich bis heute gehalten.
... ... | Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten)wird demonstriert, dass man das große Rhombenikosidodekaederalsabgeschrägtes Kuboktaeder verstehen kann. |
Beschreibungen top
Umgebungen der Vielecke
... | Jedes Quadrat ist von 2 Sechsecken und 2 Achtecken umgeben. |
... | Jedes Achteck ist von 4 Quadraten und 4 Sechsecken umgeben. |
... | Jedes Sechseck ist von 3 Quadraten und 3 Achtecken umgeben. |
... | Gleiche Vielecke liegen paarweise parallel zueinander. |
Parallelprojektionen
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... | Ein Eckpunkt liegt vorne. Ein Quadrat, ein Sechseck und ein Achteck stoßendort aufeinander. |
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216 Flächendiagonalen
... .... | Die Diagonalen der Achtecke, der Sechsecke und der Quadratesind die Flächendiagonalen des großen Rhombenkuboktaeders. Das Achteck hat 20, das Sechseck 9 und das Quadrat hat2 Diagonalen. Das führt zu insgesamt 6*20+8*9+12*2=216 Flächendiagonalen. |
... ... | Von jedem der 48 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zuden anderen Eckpunkten aus. Das sind 9 Flächendiagonalen und 3 Kanten,wie die Zeichnung zeigt. In 48-12=36 Punkten enden dann Raumdiagonalen.Das führt zu insgesamt (1/2)*48*35=840 Raumdiagonalen des großenRhombenkuboktaeders. |
Auf meiner Seite Dreieckszahlensteht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien,so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das große Rhombenkuboktaederbedeutet das, dass es (1/2)*47*48=1128 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 72 Kanten, 216 Flächendiagonalen und840 Raumdiagonalen.
Größen top
Das große Rhombenkuboktaedersei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich die Größen RadiusRder Umkugel, rk der Kantenkugel, Volumen V, OberflächeO,Abstandd4der Quadrate, Abstand d6derSechsecke und Abstandd8 der Achtecke berechnen.
Folgende Formeln werden in diesem Kapitel benutzt.
| Quadrat Flächeninhalt A4 = a² Diagonale d = sqrt(2)a . | Regelmäßiges Sechseck A6 = (3/2)sqrt(3)a² r6 = a . | Regelmäßiges Achteck A8 = 2[1+sqrt(2)]a² R8 = (1/2)sqrt[4+2sqrt(2)]a r8 = (1/2)[1+sqrt(2)]a |
O = 12*A4+8*A6+6*A8 =12*a²+8*[(3/2)sqrt(3)a²]+6*{[2+2sqrt(2)]a²} =...= 12[2+sqrt(2)+sqrt(3)]a²,wzbw.
Abstandder Quadrated4
... ... | Man legt durch den Körper eine Schnittflächeso durch den Mittelpunkt des Körpers, dass Quadrate und Achtecke halbiertwerden. Es entsteht als Schnittfläche ein unregelmäßigesAchteck mit den Seiten 2r8 und a. Dann gilt für den gesuchten Abstand d4 =2(y+a/2). |
Dann ist y = (1/2)sqrt(2)sqrt[3+2sqrt(2)]a= (1/2)[1+sqrt(2)]a.
Dann ist d4 = 2(y+a/2) = [3+sqrt(2)]a, wzbw..
Abstandder Achtecke d8
 ... | In der Querschnittfläche erscheint auch der derAbstand der Achtecke d8 = 2*r8+sqrt(2)a. Das heißt d8 = 2*(1/2)[1+sqrt(2)]a+sqrt(2)a= [1+2sqrt(2)]a, wzbw.. |
 ... | M sei der Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders. Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = (d4/2)²+[(1/2)sqrt(2)a]². Dann ist R² = {(1/2)[3+sqrt(2)]a}²+[(1/2)sqrt(2)a]²= [13/4+(3/2)sqrt(2)]a². Daraus folgt R = (1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a, wzbw.. |
Bei archimedischen Körpern liegen die Kantenmittenauf einer Kugel, der Kantenkugel.
 | Der Radius rk der Kantenkugel kann überden Radius R der Umkugel bestimmt werden. Im rechtwinkligen Dreieck gilt rk² =R²-[(1/2)a]² = (1/4)[13+6sqrt(2)]a²-(1/4)a² = (1/4)[12+6sqrt(2)]a². Dann ist rk= (1/2)sqrt[12+6sqrt(2)]a, wzbw. |
... ... | Nach dem Satz des Pythagoras gilt (d6/2)²=R²-r6². Also ist (d6/2)² = {(1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a}²-a²=...= (1/4)[9+6sqrt(2)]a². Weiter ist d6/2 = (1/2)sqrt(3)sqrt[3+2sqrt(2)]a= (1/2)sqrt(3)[1+sqrt(2)]a= (1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a. Dann ist schließlich d6 = [sqrt(3)+sqrt(6)]a,wzbw.. |
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaedersmit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpersin drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe derEinzelpyramiden.
V = 12*V4+8*V6+6*V8
= 12*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)A6(d6/2)+6*(1/3)A8(d8/2)
= 12*(1/3)a²{(1/2)[3+sqrt(2)]a}..
...+8*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²]{(1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a}
...+6*(1/3){2[1+sqrt(2)]a²}{(1/2)[1+2sqrt(2)]a}
=...
= [6+2sqrt(2)]a³+[6+6sqrt(2)]a³+[10+6sqrt(2)]a³
= [22+14sqrt(2)]a³, wzbw.
DreiWinkel
Der Winkel zwischen einer Achteck-und Quadratfläche ist 135°.
Der Winkel zwischen einer Achteck-und Sechseckfläche ist 125°16'.
Der Winkel zwischen einer Sechseck-und Quadratfläche ist 144°44'.
(1), Seite 106
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Hexakisoktaeder
... ... | Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächendes großen Rhombenkuboktaeders, so entstehtder duale Körper, das Hexakisoktaeder. |
Rhombenkuboktaederim Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
GroßesRhombenkuboktaeder
Wikipedia
GroßesRhombenkuboktaeder, ArchimedischerKörper, CatalanischerKörper, Hexakisoktaeder
Englisch
Eric.W.Weisstein (MathWorld)
GreatRhombicuboctahedron, dual: DisdyakisDodecahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pourla Physique )
Polyhedra(Applets)
G. Korthals Altes
PaperModel Truncated Cuboctahedron
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
GreatRhombicuboctahedron
Wikipedia
Truncatedcuboctahedron, Archimedeansolid, Catalansolid, DisdyakisDodecahedron
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,Oxford 1961 (Seite 112)
URL meinerHomepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©2008, überarbeitet 2013, Jürgen Köller
